Derivadas parciales, integrales múltiples y términos de cálculo vectorial de un curso de cálculo multivariable.
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- ¿Qué mide la derivada parcial ∂f/∂x?
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La tasa de cambio de f con respecto a x, tratando todas las demás variables como constantes.- ¿Cuál es la notación para la derivada parcial de f con respecto a x?
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∂f/∂x o f_x- ¿Qué son las derivadas parciales mixtas?
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Derivadas parciales tomadas con respecto a diferentes variables en secuencia, como ∂²f/∂x∂y.- ¿Qué establece el teorema de Clairaut sobre las derivadas parciales mixtas?
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Si f_xy y f_yx son continuas, entonces f_xy = f_yx (el orden de derivación no importa).- ¿Para qué se usa la prueba de la segunda derivada parcial?
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Para determinar si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla.- Enuncie la regla de la cadena para derivadas parciales cuando z = f(x,y) y x, y son funciones de t.
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dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)- ¿Cuál es la ecuación del plano tangente a una superficie z = f(x,y) en el punto (x0, y0, z0)?
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z - z0 = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)- ¿Cuál es la fórmula de aproximación lineal para f(x,y) cerca de (a,b)?
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f(x,y) ≈ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)- ¿Qué es la derivada direccional de f en el punto P en la dirección del vector unitario u?
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D_u f = ∇f · u, el producto punto del gradiente con el vector unitario.- ¿Qué es el vector gradiente ∇f de una función f(x,y,z)?
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∇f = (f_x, f_y, f_z), un vector formado por todas las derivadas parciales.- ¿Hacia qué dirección apunta el vector gradiente?
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Hacia la dirección de mayor incremento de la función.- ¿Qué es un punto crítico de una función multivariable?
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Un punto donde todas las derivadas parciales de primer orden son cero o no están definidas.- ¿Qué es un punto de silla en una superficie?
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Un punto crítico que es un máximo local en una dirección y un mínimo local en otra dirección.- ¿Cómo se define una integral doble como un límite?
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∬_R f(x,y) dA = lim (suma de f(x_ij*, y_ij*) ΔA_ij) cuando el tamaño de la partición tiende a cero.- ¿Qué es el teorema de Fubini para integrales dobles?
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∬_R f(x,y) dA = ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫∫ f(x,y) dx dy (bajo condiciones apropiadas).
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