Lösungsmethoden und Klassifikationsbegriffe für Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung aus einer einführenden Hochschulvorlesung.
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- Was ist die Ordnung einer Differentialgleichung?
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Die höchste in der Gleichung vorkommende Ableitung.- Was ist der Grad einer Differentialgleichung?
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Der Exponent, mit dem die Ableitung höchster Ordnung potenziert wird.- Definiere eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL).
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Eine Gleichung mit Ableitungen nach nur einer unabhängigen Variablen.- Definiere eine partielle Differentialgleichung (PDGL).
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Eine Gleichung mit partiellen Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen.- Was ist eine lineare Differentialgleichung?
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Eine Gleichung, in der die abhängige Variable und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen und nicht miteinander multipliziert werden.- Was ist eine homogene DGL erster Ordnung?
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Eine Gleichung, die sich als dy/dx = f(y/x) schreiben lässt, wobei die rechte Seite nur vom Quotienten y/x abhängt.- Was ist eine separable Differentialgleichung?
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Eine Gleichung, die sich als dy/dx = g(x)h(y) schreiben lässt, sodass sich die Variablen auf die beiden Seiten trennen lassen.- Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?
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Die vollständige Lösungsschar mit allen Lösungen, die in der Regel eine oder mehrere frei wählbare Konstanten enthält.- Was ist eine partikuläre Lösung einer Differentialgleichung?
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Eine spezielle Lösung, die man erhält, indem man den frei wählbaren Konstanten der allgemeinen Lösung bestimmte Werte gibt, oft anhand von Anfangsbedingungen.- Was ist der erste Schritt beim Lösen einer separablen Gleichung dy/dx = g(x)h(y)?
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Die Variablen trennen, also (dy/h(y)) = g(x)dx schreiben, und dann beide Seiten integrieren.- Was ist ein integrierender Faktor?
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Eine Funktion mu(x), mit der man eine lineare DGL multipliziert, sodass sie exakt und damit lösbar wird.- Wie lautet der Standard-Integrationsfaktor für eine lineare DGL erster Ordnung y' + P(x)y = Q(x)?
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mu(x) = e^(Integral von P(x)dx)- Was ist eine exakte Differentialgleichung?
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Eine Gleichung M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 mit dM/dy = dN/dx, sodass sie für eine Funktion F gleich dF = 0 ist.- Was ist die Wronski-Determinante?
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Eine Determinante W = y1(y2') - y2(y1'), mit der man zwei Lösungen y1 und y2 auf lineare Unabhängigkeit prüft.- Was bedeutet lineare Unabhängigkeit von Lösungen?
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Zwei Lösungen y1 und y2 sind linear unabhängig, wenn keine ein konstantes Vielfaches der anderen ist (gleichwertig: ihre Wronski-Determinante ist ungleich null).
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