Termini su derivate parziali, integrali multipli e calcolo vettoriale tratti da un corso di analisi matematica a più variabili.
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- Che cosa misura la derivata parziale ∂f/∂x?
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La velocità di variazione di f rispetto a x, considerando costanti tutte le altre variabili.- Qual è la notazione per la derivata parziale di f rispetto a x?
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∂f/∂x oppure f_x- Che cosa sono le derivate parziali miste?
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Derivate parziali calcolate in successione rispetto a variabili diverse, come ∂²f/∂x∂y.- Che cosa afferma il teorema di Clairaut (o di Schwarz) sulle derivate parziali miste?
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Se f_xy e f_yx sono continue, allora f_xy = f_yx (l'ordine di derivazione non conta).- A che cosa serve il test della derivata seconda (criterio dell'Hessiana)?
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A stabilire se un punto critico è un massimo locale, un minimo locale o un punto di sella.- Enuncia la regola della catena per le derivate parziali quando z = f(x,y) e x e y sono funzioni di t.
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dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)- Qual è l'equazione del piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto (x0, y0, z0)?
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z - z0 = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)- Qual è la formula di approssimazione lineare di f(x,y) vicino a (a,b)?
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f(x,y) ≈ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)- Qual è la derivata direzionale di f nel punto P lungo la direzione del versore u?
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D_u f = ∇f · u, il prodotto scalare del gradiente per il versore.- Qual è il vettore gradiente ∇f per una funzione f(x,y,z)?
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∇f = (f_x, f_y, f_z), il vettore di tutte le derivate parziali.- In quale direzione punta il vettore gradiente?
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Nella direzione di massima crescita della funzione.- Che cos'è un punto critico di una funzione di più variabili?
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Un punto in cui tutte le derivate parziali prime sono nulle oppure non esistono.- Che cos'è un punto di sella su una superficie?
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Un punto critico che è un massimo locale lungo una direzione e un minimo locale lungo un'altra.- Come si definisce un integrale doppio come limite?
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∬_R f(x,y) dA = lim (somma di f(x_ij*, y_ij*) ΔA_ij) quando l'ampiezza della partizione tende a zero.- Che cosa afferma il teorema di Fubini per gli integrali doppi?
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∬_R f(x,y) dA = ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫∫ f(x,y) dx dy (sotto opportune ipotesi).
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