Begriffe zu partiellen Ableitungen, Mehrfachintegralen und Vektoranalysis aus einem Kurs zur mehrdimensionalen Analysis.
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- Was misst die partielle Ableitung ∂f/∂x?
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Die Änderungsrate von f in Bezug auf x, wobei alle anderen Variablen als Konstanten behandelt werden.- Wie lautet die Schreibweise für die partielle Ableitung von f nach x?
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∂f/∂x oder f_x- Was sind gemischte partielle Ableitungen?
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Partielle Ableitungen, die nacheinander nach verschiedenen Variablen gebildet werden, zum Beispiel ∂²f/∂x∂y.- Was besagt der Satz von Clairaut (Satz von Schwarz) über gemischte partielle Ableitungen?
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Wenn f_xy und f_yx stetig sind, gilt f_xy = f_yx (die Reihenfolge der Differentiation spielt keine Rolle).- Wofür wird der Test mit den zweiten partiellen Ableitungen verwendet?
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Um zu entscheiden, ob ein kritischer Punkt ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt ist.- Nenne die Kettenregel für partielle Ableitungen, wenn z = f(x,y) gilt und x und y Funktionen von t sind.
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dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)- Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im Punkt (x0, y0, z0)?
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z - z0 = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)- Wie lautet die Formel für die lineare Näherung von f(x,y) in der Nähe von (a,b)?
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f(x,y) ≈ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)- Was ist die Richtungsableitung von f im Punkt P in Richtung des Einheitsvektors u?
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D_u f = ∇f · u, das Skalarprodukt des Gradienten mit dem Einheitsvektor.- Was ist der Gradientenvektor ∇f einer Funktion f(x,y,z)?
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∇f = (f_x, f_y, f_z), ein Vektor aus allen partiellen Ableitungen.- In welche Richtung zeigt der Gradientenvektor?
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In die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion.- Was ist ein kritischer Punkt einer Funktion mehrerer Variablen?
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Ein Punkt, an dem alle ersten partiellen Ableitungen null oder nicht definiert sind.- Was ist ein Sattelpunkt auf einer Fläche?
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Ein kritischer Punkt, der in einer Richtung ein lokales Maximum und in einer anderen Richtung ein lokales Minimum ist.- Wie wird ein Doppelintegral als Grenzwert definiert?
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∬_R f(x,y) dA = lim (Summe von f(x_ij*, y_ij*) ΔA_ij), wenn die Feinheit der Zerlegung gegen null geht.- Was besagt der Satz von Fubini für Doppelintegrale?
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∬_R f(x,y) dA = ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫∫ f(x,y) dx dy (unter geeigneten Voraussetzungen).
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