- 偏導數 ∂f/∂x 衡量的是什麼?
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在把其他所有變數都視為常數的情況下,f 對 x 的變化率。- f 對 x 的偏導數,符號怎麼寫?
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∂f/∂x 或 f_x- 什麼是混合偏導數?
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依序對不同變數取的偏導數,例如 ∂²f/∂x∂y。- 關於混合偏導數,Clairaut 定理說了什麼?
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若 f_xy 與 f_yx 皆連續,則 f_xy = f_yx(微分的順序不影響結果)。- 二階偏導數檢定用來做什麼?
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判斷一個臨界點是局部極大值、局部極小值,還是鞍點。- 當 z = f(x,y),且 x 與 y 都是 t 的函數時,請寫出偏導數的連鎖律。
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dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)- 曲面 z = f(x,y) 在點 (x0, y0, z0) 的切平面方程式是什麼?
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z - z0 = f_x(x0, y0)(x - x0) + f_y(x0, y0)(y - y0)- f(x,y) 在 (a,b) 附近的線性近似公式是什麼?
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f(x,y) ≈ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)- f 在點 P 沿單位向量 u 方向的方向導數是什麼?
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D_u f = ∇f · u,即梯度與單位向量的內積。- 函數 f(x,y,z) 的梯度向量 ∇f 是什麼?
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∇f = (f_x, f_y, f_z),由所有偏導數組成的向量。- 梯度向量指向哪個方向?
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函數增加最快的方向。- 什麼是多變數函數的臨界點?
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所有一階偏導數都為零或不存在的點。- 什麼是曲面上的鞍點?
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一個臨界點,在某個方向上是局部極大值,在另一個方向上卻是局部極小值。- 二重積分如何以極限來定義?
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∬_R f(x,y) dA = lim (f(x_ij*, y_ij*) ΔA_ij 的總和),當分割的大小趨近於零時。- 二重積分的 Fubini 定理是什麼?
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∬_R f(x,y) dA = ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫∫ f(x,y) dx dy(在適當的條件下)。
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